sattawat1979
24th April 2016, 01:22
ความเป็นมา
ปี 1900 ในงานประชุมสัมมนาของเหล่านักคณิตศาสตร์ ฮิลเบอร์ต ได้นำเสนอปัญหายี่สิบสามข้อ ซึ่งเป็นปัญหาที่น่าสนใจและยังไม่มีใครทราบคำตอบในสมัยนั้น
หนึ่งร้อยปีผ่านไป ปัญหาเหล่านั้นหลายข้อได้รับคำตอบและมีบทพิสูจน์ยืนยันเป็นที่น่าพอใจ ปัญหาบางส่วนยังไม่มีใครตอบได้ และในขณะเดียวกัน เมื่อโลกหมุนไปก็มีวิทยาการใหม่ๆ มีคำถามใหม่ๆที่รอคำตอบมากขึ้น
http://www.mx7.com/i/e9d/slwKcu.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFMZtVnWn)
ประวัติศาสตร์จึงต้องกลับมาย้อนรอย ในขณะที่โลกเฉลิมฉลองศตวรรษใหม่ในปี 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ก็ได้ร่วมเฉลิมฉลองโดยการคัดเลือกเจ็ดโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ได้ชื่อว่า "ยาก" ที่สุด และ "สำคัญ" ที่สุดในช่วงศตวรรษนี้ ในโจทย์เจ็ดข้อนี้มีหลายข้อที่เป็นคณิตศาสตร์ล้วน แต่ก็มีหลายข้อที่เป็นคำถามจากนักเขียนโปรแกรม เป็นข้อสงสัยจากวิศวะ เป็นสมการจากฟิสิกส์ ในงานประชุมของเหล่านักคณิตศาสตร์ในปีนั้น สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ขนานนามโจทย์เจ็ดข้อนั้นว่า Millennium Problems และนำเสนอเงินรางวัลหนึ่งล้านเหรียญสหรัฐให้กับผู้ที่สามารถพิชิตโจทย์แต่ละข้อเหล่านี้ได้ เงินรางวัลจำนวนมหาศาลนี้ไม่ได้เป็นเพียงเครื่องเรียกร้องความสนใจจากนักข่าวและนักคณิตศาสตร์ทั่วทุกมุมโลกเท่านั้น แต่เป็นหลักฐานที่บ่งบอกถึงความยากและความเจริญก้าวหน้าที่คำตอบของโจทย์เหล่านี้จะนำมาสู่โลกด้วย
ผู้เขียนเองมีความรู้ความสามารถน้อย ทั้งในด้านวิชาการและในด้านการถ่ายทอด ในบางกรณีจึงไม่สามารถเข้าใจคำถามของโจทย์ได้อย่างแจ่มแจ้ง และในบางกรณีก็ไม่สามารถอธิบายคำถามของโจทย์ได้ครอบคลุมทั้งหมด ต้องอาศัยการอุปมาแทนการใช้คำศัพท์เฉพาะทางที่ตรงไปตรงมา จึงต้องขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย อนึ่ง โจทย์ปัญหาเหล่านี้ล้วนเป็นโจทย์ชื่อดัง ท่านผู้อ่านที่สนใจสามารถหาอ่านรายละเอียดเชิงลึกเพิ่มเติมได้ไม่ยากบนอินเตอร์เนต
P vs NP
ปัญหา P vs NP แทบจะกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาที่สำคัญที่สุดในวงการนักเขียนโปรแกรม เพราะโปรแกรมถึงจะดีขนาดไหน แต่ถ้าทำงานช้ายืดยาดเหลือเกิน ก็คงไม่มีใครอยากใช้
นักคอมพิวเตอร์จึงต้องจัดประเภทของรูปแบบของงานตามความเร็วที่คอมพิวเตอร์จะสามารถทำได้
"P" (Polynomial time) คือรูปแบบของงานที่คอมพิวเตอร์สามารถทำได้เร็ว
"E" (Exponential time) คือรูปแบบของงานที่ต้องใช้เวลามาก อาจต้องใช้เวลาเป็นล้านๆปี
แต่รูปแบบงานทั่วไปของโรงงานอุตสาหกรรมห้างร้านทั้งหลาย ยากกว่าแบบ P แต่ก็ไม่ได้ยากเหมือนแบบ E จึงอยู่ตรงกลางและได้ชื่อว่ามีรูปแบบ "NP" (Nondeterministic Polynomial time) แต่ก็มีความเชื่อที่ว่างานในรูปแบบ NP นั้น ในความเป็นจริงอาจจะง่ายเหมือนอย่างงานในรูปแบบ P ก็ได้ เพียงแต่ยังไม่มีใครรู้วิธีเท่านั้นเอง
ถ้าจะมีเครื่องคิดเลขสักเครื่องแล้วคนคนหนึ่งอยากรู้ว่า 3329 คูณ 4547 ได้เท่าไหร่ กดเครื่องคิดเลขแปบเดียวก็ตอบได้แล้วว่าผลลัพท์คือ 15136963 แต่ในขณะเดียวกัน ถ้าจะมีคนอีกคนหนื่งอยากรู้ว่า 15136963 เท่ากับเลขใดคูณกัน เขาอาจต้องใช้เวลาเป็นวันๆในการกดเครื่องคิดเลขไล่ไปเรื่อยๆ การ "คูณ" นั้น สำหรับคอมพิวเตอร์แล้วเป็นงานที่ง่าย เป็นงานในรูปแบบ P แต่การ "แยกตัวประกอบ" นั้นเป็นงานที่ยาก เป็นงานในรูปแบบ NP แต่ทั้งนี้ ไม่มีใครแน่ใจว่า "งานที่ยาก" นั้น ยากโดยตัวของมันเอง หรือยากเพราะมนุษย์เรายังไม่รู้วิธีจัดการที่เหมาะสม
คำถามหนึ่งล้านแรกนี้ก็คือ จริงหรือไม่ที่ งานในรูปแบบ NP ง่ายเหมือนงานในรูปแบบ P
http://www.mx7.com/i/ebe/Z283Vz.png (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFNdxV7w4)
Poincare Conjecture
ในปี 1904 พอย์นคาเร่ ได้ตีพิมพ์ผลงานวิจัยเกี่ยวกับ คุณสมบัติของรูปทรง และมิติสัมพันธ์ขึ้นมาฉบับหนึ่ง ในตอนท้ายของรายงายฉบับนั้น มีข้อติดข้องประการหนึ่งที่พอย์นคาเร่หาคำตอบไม่ได้ จนพอย์นคาเร่เสียชีวิตและนักคณิตศาสตร์หลายต่อหลายคนพยายามหาคำตอบให้กับปัญหานั้น แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ ปัญหานั้นจึงได้รับการขนานนามว่า Poincare Conjecture แปลห้วนๆก็คือ ข้อคาดเดาของพอย์นคาเร่ นั่นเอง
Poincare Conjecture เป็นคำถามเกี่ยวกับรูปทรงในสี่มิติ หากจะลองจินตนาการถึงผลส้ม ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปรัดผลส้มไว้ ก็แน่นอนว่าหนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาได้โดยที่ผลส้มยังคงทรงรูปร่างเดิม แต่หากจะจินตนาการใหม่ถึงโดนัท ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปร้อยผ่านรูของโดนัทไว้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่หนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาโดยที่โดนัทยังทรงรูปร่างเดิม จึงกล่าวได้ว่าผลส้มและโดนัทมีความแตกต่างกันในเชิงมิติสัมพันธ์
คำถามล้านที่สองก็คือ รูปทรงในมิติที่สี่ที่มีคุณสมบัติแบบผลส้มมีอะไรบ้าง
http://www.mx7.com/i/9df/PFMb2T.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFLR9WI0W)
ในสายตาของนักฟิสิกส์แล้ว มิติที่สี่ไม่ได้เป็นแค่จินตนาการไร้สาระ ลูกโลกมีลักษณะเป็นทรงกลมสามมิติ แต่เพราะเราซึ่งมีขนาดเล็กกว่าโลกมากและอาศัยอยู่บนพื้นผิวของโลก ในสมัยก่อนคนเราจึงเชื่อว่าโลกแบน จนต่อมานักดาราศาสตร์จึงได้คำนวนพิสูจน์ว่าโลกกลม ในทำนองเดียวกัน ก็มีความเป็นไปได้ว่าอันที่จริงจักรวาลอาจจะมีสี่มิติ แต่เพราะเราอาศัยอยู่บนพื้นผิวของจักรวาล จักรวาลจึงปรากฏกับเราว่ามีแค่สามมิติ
http://www.mx7.com/i/98f/Zfady3.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XlWWMeKZ)
จะอย่างไรก็ดีนะครับ เป็นที่ยอมรับกันว่า Grigori Perelman พิสูจน์ Poincare Conjecture ได้เรียบร้อยแล้ว ณ เวลานี้ Poincare Conjecture เป็นปัญหาข้อเดียวในเจ็ดข้อที่มีบทพิสูจน์เป็นที่ยอมรับ
Riemann Hypothesis
Riemann Hypothesis หรือสมมุติฐานของรีมันน์ อาจจะเป็นปัญหาที่อายุยืนที่สุดในเจ็ดข้อ และเป็นหนึ่งในปัญหาของฮิลเบอร์ตในปี 1900 ที่หลงเหลือมาจนทุกวันนี้ ถ้าจะว่าให้เข้าใจง่ายที่สุด Riemann Hypothesis ก็เป็นโจทย์แก้สมการดีๆนี่เอง
รีมันน์ได้ศึกษาฟังก์ชันตัวหนึ่งซึ่งมีชื่อว่า zeta function และมีนิยามบนจำนวนที่มากกว่า 1 ว่า
zeta function นี้สามารถขยายนิยามออกไปได้แม้สำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน สิ่งที่รีมันน์สนใจในอันดับต่อไปก็คือ การหาค่า s ในสมการ รีมันน์พบว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายเหลือเกิน ตั้งแต่จำนวนเต็มลบคู่ทั้งหมด (ได้แก่ -2,-4,-6,...) และอีก "ส่วนหนึ่ง" ที่รีมันน์ไม่สามารถหาค่าได้หมด และไม่ทราบว่ามีอะไรบ้าง
คำถามล้านที่สามนี้ถามว่า จริงหรือไม่ที่คำตอบอีก "ส่วนหนึ่ง" ที่เหลือนั้นจะต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริง (real part) เท่ากับ 1/2
http://www.mx7.com/i/518/P6yVct.gif (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1Xm6k6J8Y)
จะอย่างไรก็ดีนะครับ การแก้สมการดังกล่าวนี้ไม่ตรงไปตรงมาอย่างที่คิด เพราะเมื่อฟังก์ชันถูกขยายนิยามไปบนจำนวนเชิงซ้อนแล้วเรื่องประหลาดอาจเกิดขึ้นได้มากมายไม่รู้จบ อย่างเช่น ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลธรรมดาๆอย่าง e^x นั้น พอไปอยู่บนแกนจำนวนเชิงซ้อนแล้วจะกลับกลายเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติไป แต่ zeta function นี้ซ้ำร้ายยิ่งไปกว่านั้น บนจำนวนเชิงซ้อน zeta function จะไม่มีนิยามที่ตรงไปตรงมา แต่ต้องอาศัยฟังก์ชันอื่นๆอีก
zeta function มีความสัมพันธ์โดยตรงกับจำนวนเฉพาะ (จำนวนที่แยกตัวประกอบไม่ได้ เช่น 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...) ไม่มีใครรู้สูตรสำเร็จในการหาค่าจำนวนเฉพาะ แต่บทพิสูจน์ของ Riemann Hypothesis จะมีประโยชน์ในการศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ หากจะถามว่าทำไมต้องศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ? คำตอบก็คือเพราะจำนวนเฉพาะเป็นกระดูกสันหลังของระบบรหัสที่ใช้ในการสื่อสารทุกวันนี้ หากไม่มีการศึกษาเรื่องจำนวนเฉพาะมาก่อน อินเตอร์เนตจะไม่มีความปลอดภัยเลย อีเมลจะถูกแฮคได้ทุกเมื่อ ความลับของบริษัทจะถูกโจมตีเมื่อไหร่ก็ได้
จนถึงทุกวันนี้ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้ซุปเปอร์คอมพิวเตอร์หาคำตอบของสมการเป็นล้านๆค่าแล้ว แต่ก็ไม่พบค่าใดที่ขัดแย้งกับ Riemann Hypothesis
Navier-Stokes Equations
http://www.mx7.com/i/1be/R1dkno.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XmRcLb60)
ท่ามกลางปรากฏการณ์ธรรมดาๆอย่างเช่น กระแสน้ำในทะเล คลื่นจากท้ายเรือข้ามฟาก ควันธูปที่ลอยไปในอากาศ ทิศทางของก้อนเมฆ ก็ยังมีสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์ไม่รู้ไม่เข้าใจแฝงอยู่เต็มไปหมด นักฟิสิกส์เชื่อว่า ท่ามกลางความยุ่งเหยิงและการเคลื่อนที่อย่างไม่เป็นระบบระเบียบของของเหลวและก๊าซทั้งหลายนั้น จะต้องมี "กฏ" บางอย่างที่สามารถอธิบายและพยากรณ์การเคลื่อนที่ที่ดูประหนึ่งว่าไม่มีทิศทางนั้นได้ คำตอบของ Navier-Stokes Equations จะเป็นที่มาของกฏนั้น
คนที่เรียนวิศวะและฟิสิกส์ในมหาวิทยาลัย อาจจะเคยเรียนวิชา fluid mechanics และปวดหัวกับการแก้ differential equation เพื่อหาอัตราการกระจายตัวของของเหลวหรือก๊าซมาแล้ว ในทำนองเดียวกัน Navier-Stokes Equations เป็นสมการดิฟฟีเรนเชียลที่อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล แต่มีเงื่อนไขมากมายและเขียนใหม่ได้หลายรูปแบบ จะอย่างไรก็ดี หนึ่งในสมการหลักๆก็คือ
คำถามล้านที่สี่ก็คือ Navier-Stokes Equations มีคำตอบหรือไม่
จนถึงทุกวันนี้ แม้แต่ในเงื่อนไขที่ง่ายที่สุด ก็ยังไม่มีใครสามารถหาคำตอบของสมการดังกล่าวได้ ไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าคำตอบมีหรือไม่มี และไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าถ้ามีคำตอบ คำตอบนั้นจะมีคุณสมบัติอะไรบ้าง ในความเป็นจริงแล้ว คำตอบของ Navier-Stokes Equations มีความจำเป็นในการสร้างรถเรือและเครื่องบินที่มีความเร็วสูง นักวิศวกรจึงต้องอาศัยคอมพิวเตอร์หาคำตอบตามสถานการณ์เป็นครั้งๆไป
http://www.mx7.com/i/921/BrCNvn.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XmtLqX7w)
Navier-Stokes Equations เป็นประหนึ่งน้องๆของทฤษฏีแห่งความยุ่งเหยิง คำตอบของสมการนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมหาศาล กระแสน้ำและคลื่นลมจะได้รับการอธิบาย การพยากรณ์อากาศจะแม่นยำมาก ระบบเตือนซึนามิและพายุจะมีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น จะมีรถและเครื่องบินยุคใหม่ แม้แต่ในวงการแพทย์ก็จะเข้าใจระบบไหลเวียนโลหิตดีขึ้น
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture เป็นปัญหาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เกี่ยวกับสมการหลายตัวแปรที่ต้องการคำตอบเป็นจำนวนเต็ม สมการที่ดูเหมือนง่ายๆนั้น ในบางกรณีก็ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างเช่น ไม่มีจำนวนเต็ม x และ y ใดๆ ที่ทำให้ หรือที่โด่งดังกว่านั้นก็คือสมการ สำหรับ n มากกว่า 2 ที่รู้จักกันในนาม Fermat's last theorem หรือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์
ก่อนที่เฟอร์มาต์จะเสียชีวิต เขาได้ทิ้งมรดกชิ้นสำคัญไว้ให้กับนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังชิ้นหนึ่ง นั่นคือสมุดบันทึกสูตรและบทพิสูจน์ต่างๆที่เขาค้นพบในช่วงยังมีชีวิต Fermat's last theorem เป็นทฤษฎีบทสุดท้ายในสมุดบันทึกเล่มนั้น น่าเสียดาย เฟอร์มาต์ไม่ได้ทิ้งบทพิสูจน์ไว้ บอกเพียงแต่ว่าหน้ากระดาษไม่พอเขียนเท่านั้น แต่ผลปรากฏก็คือว่า ในยุคนั้นไม่มีใครเติมเต็มชิ้นส่วนที่หายไปนี้ได้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์เป็นปัญหาคาใจของเหล่านักคณิตศาสตร์อยู่หลายชั่วอายุคน
เวลาผ่านไปร่วมสามร้อยปี จนในปี 1994 Andrew Wiles ก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์ได้ โดยพิจารณาสมการ ด้วยความเป็นกราฟ และเรียกชื่อกราฟนั้นว่า elliptic curve และก็ด้วยเหตุนี้เอง elliptic curve จึงเป็นที่สนใจของบรรดาเหล่านักคณิตศาสตร์ และเป็นกุญแจสำคัญของ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
คำถามล้านที่ห้านี้ถามว่า ถ้าให้ C เป็น elliptic curve, L(C,s) เป็น L-series ของ C, และ r เป็น rank ของ C บนจำนวนตรรกยะแล้วจะได้ว่า เทอมที่น้อยที่สุดจากการกระจาย L(C,s) ที่ s=1 ก็คือ
Yang-Mills Theory
http://www.mx7.com/i/c48/eJntMb.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml12xIeWzygtRE)
เป็นความจริงที่ว่าฟิสิกส์ขาดคณิตศาสตร์ไม่ได้ ถ้าไอน์สไตน์พูดแต่เพียงปากเปล่าว่าสสารก็คือพลังงาน และพลังงานก็คือสสาร แต่ไม่สามารถสรุปสมการ ออกมาได้ ทุกวันนี้เราก็อาจจะยังหัวเราะเยาะให้กับความคิดที่ว่าสสารแปลรูปเป็นพลังงานได้
นิวตันรู้ตัวว่างานของเขาต้องการเครื่องมือบางอย่างจากคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นไม่เคยคิดถึง ไม่สนใจ และไม่รู้จัก นิวตันจึงต้องประดิษฐ์เครื่องมือนั้นขึ้นมาเอง เครื่องมือนั้นได้ถูกเรียกว่า "แคลคูลัส" ซึ่งต่อมาก็ได้ถูกโอนเข้าสู่มือนักคณิตศาสตร์ ได้รับการวางรากฐานตามแบบฉบับของคณิตศาสตร์อย่างที่เห็นกันทุกวันนี้
แม้แต่ในยุคนี้สถานการณ์เดิมๆก็ไม่ได้หายไปไหน ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อทฤษฎีทางฟิสิกส์ไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์รองรับ
Yang กับ Mills เป็นนักควอนตัมฟิสิกส์ที่ค้นพบปรากฏการณ์บางอย่างจากผลการทดลอง และยืนยันได้จากการจำลองสถานการณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ Yang กับ Mills ไม่สามารถอธิบายสิ่งที่เขาค้นพบได้ด้วยสิ่งที่คณิตศาสตร์มี ไม่สามารถหาสูตรสำเร็จอย่าง ออกมาอธิบายสิ่งที่พวกเขาค้นพบได้
ปัญหาที่มีชื่อว่า Yang-Mills Theory ข้อนี้จึงต่างกับข้ออื่นตรงที่ โจทย์ไม่ได้เป็นคำถามสำเร็จรูปในเชิงคณิตศาสตร์ แต่โจทย์คือการเอาคณิตศาสตร์เข้าไปในที่ที่คณิตศาสตร์ไม่เคยเข้าไป โจทย์ไม่ได้ถามว่าคำตอบของสมการคืออะไร แต่ถามว่าสมการที่นักฟิสิกส์ต้องการคำตอบคือสมการอะไร เหมือนกับที่ไอน์สไตน์พบสูตรพลังงานกับมวลสาร และเหมือนกับที่นิวตันวางรากฐานให้กับวิชาแคลคูลัส
คำถามล้านที่หกก็คือ ให้วางระบบรากฐานในเชิงคณิตศาสตร์ให้เพียงพอ เพื่อที่จะพิสูจน์ได้ว่า Yang-Mills Theory มีจริง และ mass gap (อนุภาคที่มีคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งในควอนตัมฟิสิกส์) มีจริง
Hodge Conjecture
ในบรรดาปัญหาทั้งเจ็ด Hodge Conjecture เป็นปัญหาที่เข้าใจยากที่สุดและอธิบายยากที่สุด แต่ทั้งนี้ไม่ได้เป็นเพราะว่า Hodge Conjecture ยากกว่าข้ออื่น แต่ Hodge Conjecture เป็นปัญหาเฉพาะทางที่ลงลึกไปในส่วนของคณิตศาสตร์ที่จินตนาการตามได้ยาก
http://www.mx7.com/i/982/HkByfK.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml12xIeWEeVJ3U)
ไอเดียเริ่มต้นก็คือ ถ้าเรานำวัตถุมาทากาวแล้วแปะกันเราก็จะได้รูปทรงใหม่ นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มศึกษารูปทรงในหลายมิติที่มาจากการนำรูปทรงที่มีมิติต่ำกว่ามาเชื่อมกัน (ฟังแล้วไม่น่าเชื่อ แต่กระดาษแค่ไม่กี่แผ่นแปะกันก็เกิดเป็นรูปทรงสี่มิติที่ลึกลับซับซ้อนได้ และรูปทรงด้านบนก็เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ได้มาจากวิธีการนี้) เทคนิคดังกล่าวนี้ได้ถูกพัฒนาอย่างแพร่หลายในทุกๆด้าน จนถึงจุดที่วัตถุที่ถูกนำมาเชื่อมติดกันไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงอีกต่อไป แต่เป็นวัตถุเชิงพีชคณิตที่มีชื่อว่า algebraic cycle วัตถุเชิงพีชคณิตนี้ไม่ได้อยู่ในระบบมิติกว้างยาวสูงที่จับต้องได้ แต่อยู่ในระบบมิติที่มีชื่อว่า projective algebraic variety
คำถามล้านที่เจ็ดถามว่า จริงหรือไม่ ที่บน projective algebraic variety บนจำนวนเชิงซ้อน วัตถุใน Hodge class มาจากจากผสมกันแบบเส้นตรงในเชิงตรรกยะของ algebraic cycle
ถึงแม้ว่า บทพิสูจน์ของ Hodge Conjecture อาจจะไม่ได้เป็นประโยชน์กว้างขวางแบบที่วาดภาพตามได้เหมือนปัญหาข้ออื่นๆ แต่การพัฒนาในสาขาวิชานี้จะเป็นประโยชน์ในวงการอุตสาห์กรรม การออกแบบ และภาพยนตร์แอนิเมชั่น
ที่มา : www.vcharkarn.com
ปี 1900 ในงานประชุมสัมมนาของเหล่านักคณิตศาสตร์ ฮิลเบอร์ต ได้นำเสนอปัญหายี่สิบสามข้อ ซึ่งเป็นปัญหาที่น่าสนใจและยังไม่มีใครทราบคำตอบในสมัยนั้น
หนึ่งร้อยปีผ่านไป ปัญหาเหล่านั้นหลายข้อได้รับคำตอบและมีบทพิสูจน์ยืนยันเป็นที่น่าพอใจ ปัญหาบางส่วนยังไม่มีใครตอบได้ และในขณะเดียวกัน เมื่อโลกหมุนไปก็มีวิทยาการใหม่ๆ มีคำถามใหม่ๆที่รอคำตอบมากขึ้น
http://www.mx7.com/i/e9d/slwKcu.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFMZtVnWn)
ประวัติศาสตร์จึงต้องกลับมาย้อนรอย ในขณะที่โลกเฉลิมฉลองศตวรรษใหม่ในปี 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ก็ได้ร่วมเฉลิมฉลองโดยการคัดเลือกเจ็ดโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ได้ชื่อว่า "ยาก" ที่สุด และ "สำคัญ" ที่สุดในช่วงศตวรรษนี้ ในโจทย์เจ็ดข้อนี้มีหลายข้อที่เป็นคณิตศาสตร์ล้วน แต่ก็มีหลายข้อที่เป็นคำถามจากนักเขียนโปรแกรม เป็นข้อสงสัยจากวิศวะ เป็นสมการจากฟิสิกส์ ในงานประชุมของเหล่านักคณิตศาสตร์ในปีนั้น สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ขนานนามโจทย์เจ็ดข้อนั้นว่า Millennium Problems และนำเสนอเงินรางวัลหนึ่งล้านเหรียญสหรัฐให้กับผู้ที่สามารถพิชิตโจทย์แต่ละข้อเหล่านี้ได้ เงินรางวัลจำนวนมหาศาลนี้ไม่ได้เป็นเพียงเครื่องเรียกร้องความสนใจจากนักข่าวและนักคณิตศาสตร์ทั่วทุกมุมโลกเท่านั้น แต่เป็นหลักฐานที่บ่งบอกถึงความยากและความเจริญก้าวหน้าที่คำตอบของโจทย์เหล่านี้จะนำมาสู่โลกด้วย
ผู้เขียนเองมีความรู้ความสามารถน้อย ทั้งในด้านวิชาการและในด้านการถ่ายทอด ในบางกรณีจึงไม่สามารถเข้าใจคำถามของโจทย์ได้อย่างแจ่มแจ้ง และในบางกรณีก็ไม่สามารถอธิบายคำถามของโจทย์ได้ครอบคลุมทั้งหมด ต้องอาศัยการอุปมาแทนการใช้คำศัพท์เฉพาะทางที่ตรงไปตรงมา จึงต้องขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย อนึ่ง โจทย์ปัญหาเหล่านี้ล้วนเป็นโจทย์ชื่อดัง ท่านผู้อ่านที่สนใจสามารถหาอ่านรายละเอียดเชิงลึกเพิ่มเติมได้ไม่ยากบนอินเตอร์เนต
P vs NP
ปัญหา P vs NP แทบจะกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาที่สำคัญที่สุดในวงการนักเขียนโปรแกรม เพราะโปรแกรมถึงจะดีขนาดไหน แต่ถ้าทำงานช้ายืดยาดเหลือเกิน ก็คงไม่มีใครอยากใช้
นักคอมพิวเตอร์จึงต้องจัดประเภทของรูปแบบของงานตามความเร็วที่คอมพิวเตอร์จะสามารถทำได้
"P" (Polynomial time) คือรูปแบบของงานที่คอมพิวเตอร์สามารถทำได้เร็ว
"E" (Exponential time) คือรูปแบบของงานที่ต้องใช้เวลามาก อาจต้องใช้เวลาเป็นล้านๆปี
แต่รูปแบบงานทั่วไปของโรงงานอุตสาหกรรมห้างร้านทั้งหลาย ยากกว่าแบบ P แต่ก็ไม่ได้ยากเหมือนแบบ E จึงอยู่ตรงกลางและได้ชื่อว่ามีรูปแบบ "NP" (Nondeterministic Polynomial time) แต่ก็มีความเชื่อที่ว่างานในรูปแบบ NP นั้น ในความเป็นจริงอาจจะง่ายเหมือนอย่างงานในรูปแบบ P ก็ได้ เพียงแต่ยังไม่มีใครรู้วิธีเท่านั้นเอง
ถ้าจะมีเครื่องคิดเลขสักเครื่องแล้วคนคนหนึ่งอยากรู้ว่า 3329 คูณ 4547 ได้เท่าไหร่ กดเครื่องคิดเลขแปบเดียวก็ตอบได้แล้วว่าผลลัพท์คือ 15136963 แต่ในขณะเดียวกัน ถ้าจะมีคนอีกคนหนื่งอยากรู้ว่า 15136963 เท่ากับเลขใดคูณกัน เขาอาจต้องใช้เวลาเป็นวันๆในการกดเครื่องคิดเลขไล่ไปเรื่อยๆ การ "คูณ" นั้น สำหรับคอมพิวเตอร์แล้วเป็นงานที่ง่าย เป็นงานในรูปแบบ P แต่การ "แยกตัวประกอบ" นั้นเป็นงานที่ยาก เป็นงานในรูปแบบ NP แต่ทั้งนี้ ไม่มีใครแน่ใจว่า "งานที่ยาก" นั้น ยากโดยตัวของมันเอง หรือยากเพราะมนุษย์เรายังไม่รู้วิธีจัดการที่เหมาะสม
คำถามหนึ่งล้านแรกนี้ก็คือ จริงหรือไม่ที่ งานในรูปแบบ NP ง่ายเหมือนงานในรูปแบบ P
http://www.mx7.com/i/ebe/Z283Vz.png (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFNdxV7w4)
Poincare Conjecture
ในปี 1904 พอย์นคาเร่ ได้ตีพิมพ์ผลงานวิจัยเกี่ยวกับ คุณสมบัติของรูปทรง และมิติสัมพันธ์ขึ้นมาฉบับหนึ่ง ในตอนท้ายของรายงายฉบับนั้น มีข้อติดข้องประการหนึ่งที่พอย์นคาเร่หาคำตอบไม่ได้ จนพอย์นคาเร่เสียชีวิตและนักคณิตศาสตร์หลายต่อหลายคนพยายามหาคำตอบให้กับปัญหานั้น แต่ไม่มีใครทำสำเร็จ ปัญหานั้นจึงได้รับการขนานนามว่า Poincare Conjecture แปลห้วนๆก็คือ ข้อคาดเดาของพอย์นคาเร่ นั่นเอง
Poincare Conjecture เป็นคำถามเกี่ยวกับรูปทรงในสี่มิติ หากจะลองจินตนาการถึงผลส้ม ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปรัดผลส้มไว้ ก็แน่นอนว่าหนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาได้โดยที่ผลส้มยังคงทรงรูปร่างเดิม แต่หากจะจินตนาการใหม่ถึงโดนัท ถ้าเอายางหนังสติ๊กไปร้อยผ่านรูของโดนัทไว้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่หนังสติ๊กจะกระเด็นออกมาโดยที่โดนัทยังทรงรูปร่างเดิม จึงกล่าวได้ว่าผลส้มและโดนัทมีความแตกต่างกันในเชิงมิติสัมพันธ์
คำถามล้านที่สองก็คือ รูปทรงในมิติที่สี่ที่มีคุณสมบัติแบบผลส้มมีอะไรบ้าง
http://www.mx7.com/i/9df/PFMb2T.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0kAlFLR9WI0W)
ในสายตาของนักฟิสิกส์แล้ว มิติที่สี่ไม่ได้เป็นแค่จินตนาการไร้สาระ ลูกโลกมีลักษณะเป็นทรงกลมสามมิติ แต่เพราะเราซึ่งมีขนาดเล็กกว่าโลกมากและอาศัยอยู่บนพื้นผิวของโลก ในสมัยก่อนคนเราจึงเชื่อว่าโลกแบน จนต่อมานักดาราศาสตร์จึงได้คำนวนพิสูจน์ว่าโลกกลม ในทำนองเดียวกัน ก็มีความเป็นไปได้ว่าอันที่จริงจักรวาลอาจจะมีสี่มิติ แต่เพราะเราอาศัยอยู่บนพื้นผิวของจักรวาล จักรวาลจึงปรากฏกับเราว่ามีแค่สามมิติ
http://www.mx7.com/i/98f/Zfady3.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XlWWMeKZ)
จะอย่างไรก็ดีนะครับ เป็นที่ยอมรับกันว่า Grigori Perelman พิสูจน์ Poincare Conjecture ได้เรียบร้อยแล้ว ณ เวลานี้ Poincare Conjecture เป็นปัญหาข้อเดียวในเจ็ดข้อที่มีบทพิสูจน์เป็นที่ยอมรับ
Riemann Hypothesis
Riemann Hypothesis หรือสมมุติฐานของรีมันน์ อาจจะเป็นปัญหาที่อายุยืนที่สุดในเจ็ดข้อ และเป็นหนึ่งในปัญหาของฮิลเบอร์ตในปี 1900 ที่หลงเหลือมาจนทุกวันนี้ ถ้าจะว่าให้เข้าใจง่ายที่สุด Riemann Hypothesis ก็เป็นโจทย์แก้สมการดีๆนี่เอง
รีมันน์ได้ศึกษาฟังก์ชันตัวหนึ่งซึ่งมีชื่อว่า zeta function และมีนิยามบนจำนวนที่มากกว่า 1 ว่า
zeta function นี้สามารถขยายนิยามออกไปได้แม้สำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน สิ่งที่รีมันน์สนใจในอันดับต่อไปก็คือ การหาค่า s ในสมการ รีมันน์พบว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายเหลือเกิน ตั้งแต่จำนวนเต็มลบคู่ทั้งหมด (ได้แก่ -2,-4,-6,...) และอีก "ส่วนหนึ่ง" ที่รีมันน์ไม่สามารถหาค่าได้หมด และไม่ทราบว่ามีอะไรบ้าง
คำถามล้านที่สามนี้ถามว่า จริงหรือไม่ที่คำตอบอีก "ส่วนหนึ่ง" ที่เหลือนั้นจะต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริง (real part) เท่ากับ 1/2
http://www.mx7.com/i/518/P6yVct.gif (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1Xm6k6J8Y)
จะอย่างไรก็ดีนะครับ การแก้สมการดังกล่าวนี้ไม่ตรงไปตรงมาอย่างที่คิด เพราะเมื่อฟังก์ชันถูกขยายนิยามไปบนจำนวนเชิงซ้อนแล้วเรื่องประหลาดอาจเกิดขึ้นได้มากมายไม่รู้จบ อย่างเช่น ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลธรรมดาๆอย่าง e^x นั้น พอไปอยู่บนแกนจำนวนเชิงซ้อนแล้วจะกลับกลายเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติไป แต่ zeta function นี้ซ้ำร้ายยิ่งไปกว่านั้น บนจำนวนเชิงซ้อน zeta function จะไม่มีนิยามที่ตรงไปตรงมา แต่ต้องอาศัยฟังก์ชันอื่นๆอีก
zeta function มีความสัมพันธ์โดยตรงกับจำนวนเฉพาะ (จำนวนที่แยกตัวประกอบไม่ได้ เช่น 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...) ไม่มีใครรู้สูตรสำเร็จในการหาค่าจำนวนเฉพาะ แต่บทพิสูจน์ของ Riemann Hypothesis จะมีประโยชน์ในการศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ หากจะถามว่าทำไมต้องศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ? คำตอบก็คือเพราะจำนวนเฉพาะเป็นกระดูกสันหลังของระบบรหัสที่ใช้ในการสื่อสารทุกวันนี้ หากไม่มีการศึกษาเรื่องจำนวนเฉพาะมาก่อน อินเตอร์เนตจะไม่มีความปลอดภัยเลย อีเมลจะถูกแฮคได้ทุกเมื่อ ความลับของบริษัทจะถูกโจมตีเมื่อไหร่ก็ได้
จนถึงทุกวันนี้ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้ซุปเปอร์คอมพิวเตอร์หาคำตอบของสมการเป็นล้านๆค่าแล้ว แต่ก็ไม่พบค่าใดที่ขัดแย้งกับ Riemann Hypothesis
Navier-Stokes Equations
http://www.mx7.com/i/1be/R1dkno.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XmRcLb60)
ท่ามกลางปรากฏการณ์ธรรมดาๆอย่างเช่น กระแสน้ำในทะเล คลื่นจากท้ายเรือข้ามฟาก ควันธูปที่ลอยไปในอากาศ ทิศทางของก้อนเมฆ ก็ยังมีสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์ไม่รู้ไม่เข้าใจแฝงอยู่เต็มไปหมด นักฟิสิกส์เชื่อว่า ท่ามกลางความยุ่งเหยิงและการเคลื่อนที่อย่างไม่เป็นระบบระเบียบของของเหลวและก๊าซทั้งหลายนั้น จะต้องมี "กฏ" บางอย่างที่สามารถอธิบายและพยากรณ์การเคลื่อนที่ที่ดูประหนึ่งว่าไม่มีทิศทางนั้นได้ คำตอบของ Navier-Stokes Equations จะเป็นที่มาของกฏนั้น
คนที่เรียนวิศวะและฟิสิกส์ในมหาวิทยาลัย อาจจะเคยเรียนวิชา fluid mechanics และปวดหัวกับการแก้ differential equation เพื่อหาอัตราการกระจายตัวของของเหลวหรือก๊าซมาแล้ว ในทำนองเดียวกัน Navier-Stokes Equations เป็นสมการดิฟฟีเรนเชียลที่อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล แต่มีเงื่อนไขมากมายและเขียนใหม่ได้หลายรูปแบบ จะอย่างไรก็ดี หนึ่งในสมการหลักๆก็คือ
คำถามล้านที่สี่ก็คือ Navier-Stokes Equations มีคำตอบหรือไม่
จนถึงทุกวันนี้ แม้แต่ในเงื่อนไขที่ง่ายที่สุด ก็ยังไม่มีใครสามารถหาคำตอบของสมการดังกล่าวได้ ไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าคำตอบมีหรือไม่มี และไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าถ้ามีคำตอบ คำตอบนั้นจะมีคุณสมบัติอะไรบ้าง ในความเป็นจริงแล้ว คำตอบของ Navier-Stokes Equations มีความจำเป็นในการสร้างรถเรือและเครื่องบินที่มีความเร็วสูง นักวิศวกรจึงต้องอาศัยคอมพิวเตอร์หาคำตอบตามสถานการณ์เป็นครั้งๆไป
http://www.mx7.com/i/921/BrCNvn.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml0Gz1XmtLqX7w)
Navier-Stokes Equations เป็นประหนึ่งน้องๆของทฤษฏีแห่งความยุ่งเหยิง คำตอบของสมการนี้จะเป็นประโยชน์อย่างมหาศาล กระแสน้ำและคลื่นลมจะได้รับการอธิบาย การพยากรณ์อากาศจะแม่นยำมาก ระบบเตือนซึนามิและพายุจะมีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น จะมีรถและเครื่องบินยุคใหม่ แม้แต่ในวงการแพทย์ก็จะเข้าใจระบบไหลเวียนโลหิตดีขึ้น
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture เป็นปัญหาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เกี่ยวกับสมการหลายตัวแปรที่ต้องการคำตอบเป็นจำนวนเต็ม สมการที่ดูเหมือนง่ายๆนั้น ในบางกรณีก็ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างเช่น ไม่มีจำนวนเต็ม x และ y ใดๆ ที่ทำให้ หรือที่โด่งดังกว่านั้นก็คือสมการ สำหรับ n มากกว่า 2 ที่รู้จักกันในนาม Fermat's last theorem หรือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์
ก่อนที่เฟอร์มาต์จะเสียชีวิต เขาได้ทิ้งมรดกชิ้นสำคัญไว้ให้กับนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังชิ้นหนึ่ง นั่นคือสมุดบันทึกสูตรและบทพิสูจน์ต่างๆที่เขาค้นพบในช่วงยังมีชีวิต Fermat's last theorem เป็นทฤษฎีบทสุดท้ายในสมุดบันทึกเล่มนั้น น่าเสียดาย เฟอร์มาต์ไม่ได้ทิ้งบทพิสูจน์ไว้ บอกเพียงแต่ว่าหน้ากระดาษไม่พอเขียนเท่านั้น แต่ผลปรากฏก็คือว่า ในยุคนั้นไม่มีใครเติมเต็มชิ้นส่วนที่หายไปนี้ได้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์เป็นปัญหาคาใจของเหล่านักคณิตศาสตร์อยู่หลายชั่วอายุคน
เวลาผ่านไปร่วมสามร้อยปี จนในปี 1994 Andrew Wiles ก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มาต์ได้ โดยพิจารณาสมการ ด้วยความเป็นกราฟ และเรียกชื่อกราฟนั้นว่า elliptic curve และก็ด้วยเหตุนี้เอง elliptic curve จึงเป็นที่สนใจของบรรดาเหล่านักคณิตศาสตร์ และเป็นกุญแจสำคัญของ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
คำถามล้านที่ห้านี้ถามว่า ถ้าให้ C เป็น elliptic curve, L(C,s) เป็น L-series ของ C, และ r เป็น rank ของ C บนจำนวนตรรกยะแล้วจะได้ว่า เทอมที่น้อยที่สุดจากการกระจาย L(C,s) ที่ s=1 ก็คือ
Yang-Mills Theory
http://www.mx7.com/i/c48/eJntMb.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml12xIeWzygtRE)
เป็นความจริงที่ว่าฟิสิกส์ขาดคณิตศาสตร์ไม่ได้ ถ้าไอน์สไตน์พูดแต่เพียงปากเปล่าว่าสสารก็คือพลังงาน และพลังงานก็คือสสาร แต่ไม่สามารถสรุปสมการ ออกมาได้ ทุกวันนี้เราก็อาจจะยังหัวเราะเยาะให้กับความคิดที่ว่าสสารแปลรูปเป็นพลังงานได้
นิวตันรู้ตัวว่างานของเขาต้องการเครื่องมือบางอย่างจากคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นไม่เคยคิดถึง ไม่สนใจ และไม่รู้จัก นิวตันจึงต้องประดิษฐ์เครื่องมือนั้นขึ้นมาเอง เครื่องมือนั้นได้ถูกเรียกว่า "แคลคูลัส" ซึ่งต่อมาก็ได้ถูกโอนเข้าสู่มือนักคณิตศาสตร์ ได้รับการวางรากฐานตามแบบฉบับของคณิตศาสตร์อย่างที่เห็นกันทุกวันนี้
แม้แต่ในยุคนี้สถานการณ์เดิมๆก็ไม่ได้หายไปไหน ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อทฤษฎีทางฟิสิกส์ไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์รองรับ
Yang กับ Mills เป็นนักควอนตัมฟิสิกส์ที่ค้นพบปรากฏการณ์บางอย่างจากผลการทดลอง และยืนยันได้จากการจำลองสถานการณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ Yang กับ Mills ไม่สามารถอธิบายสิ่งที่เขาค้นพบได้ด้วยสิ่งที่คณิตศาสตร์มี ไม่สามารถหาสูตรสำเร็จอย่าง ออกมาอธิบายสิ่งที่พวกเขาค้นพบได้
ปัญหาที่มีชื่อว่า Yang-Mills Theory ข้อนี้จึงต่างกับข้ออื่นตรงที่ โจทย์ไม่ได้เป็นคำถามสำเร็จรูปในเชิงคณิตศาสตร์ แต่โจทย์คือการเอาคณิตศาสตร์เข้าไปในที่ที่คณิตศาสตร์ไม่เคยเข้าไป โจทย์ไม่ได้ถามว่าคำตอบของสมการคืออะไร แต่ถามว่าสมการที่นักฟิสิกส์ต้องการคำตอบคือสมการอะไร เหมือนกับที่ไอน์สไตน์พบสูตรพลังงานกับมวลสาร และเหมือนกับที่นิวตันวางรากฐานให้กับวิชาแคลคูลัส
คำถามล้านที่หกก็คือ ให้วางระบบรากฐานในเชิงคณิตศาสตร์ให้เพียงพอ เพื่อที่จะพิสูจน์ได้ว่า Yang-Mills Theory มีจริง และ mass gap (อนุภาคที่มีคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งในควอนตัมฟิสิกส์) มีจริง
Hodge Conjecture
ในบรรดาปัญหาทั้งเจ็ด Hodge Conjecture เป็นปัญหาที่เข้าใจยากที่สุดและอธิบายยากที่สุด แต่ทั้งนี้ไม่ได้เป็นเพราะว่า Hodge Conjecture ยากกว่าข้ออื่น แต่ Hodge Conjecture เป็นปัญหาเฉพาะทางที่ลงลึกไปในส่วนของคณิตศาสตร์ที่จินตนาการตามได้ยาก
http://www.mx7.com/i/982/HkByfK.jpg (http://www.mx7.com/view2/z3Ml12xIeWEeVJ3U)
ไอเดียเริ่มต้นก็คือ ถ้าเรานำวัตถุมาทากาวแล้วแปะกันเราก็จะได้รูปทรงใหม่ นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มศึกษารูปทรงในหลายมิติที่มาจากการนำรูปทรงที่มีมิติต่ำกว่ามาเชื่อมกัน (ฟังแล้วไม่น่าเชื่อ แต่กระดาษแค่ไม่กี่แผ่นแปะกันก็เกิดเป็นรูปทรงสี่มิติที่ลึกลับซับซ้อนได้ และรูปทรงด้านบนก็เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ได้มาจากวิธีการนี้) เทคนิคดังกล่าวนี้ได้ถูกพัฒนาอย่างแพร่หลายในทุกๆด้าน จนถึงจุดที่วัตถุที่ถูกนำมาเชื่อมติดกันไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงอีกต่อไป แต่เป็นวัตถุเชิงพีชคณิตที่มีชื่อว่า algebraic cycle วัตถุเชิงพีชคณิตนี้ไม่ได้อยู่ในระบบมิติกว้างยาวสูงที่จับต้องได้ แต่อยู่ในระบบมิติที่มีชื่อว่า projective algebraic variety
คำถามล้านที่เจ็ดถามว่า จริงหรือไม่ ที่บน projective algebraic variety บนจำนวนเชิงซ้อน วัตถุใน Hodge class มาจากจากผสมกันแบบเส้นตรงในเชิงตรรกยะของ algebraic cycle
ถึงแม้ว่า บทพิสูจน์ของ Hodge Conjecture อาจจะไม่ได้เป็นประโยชน์กว้างขวางแบบที่วาดภาพตามได้เหมือนปัญหาข้ออื่นๆ แต่การพัฒนาในสาขาวิชานี้จะเป็นประโยชน์ในวงการอุตสาห์กรรม การออกแบบ และภาพยนตร์แอนิเมชั่น
ที่มา : www.vcharkarn.com